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Système de deux équations à deux inconnues |
I) Résolution par substitution: Dans une équation, on exprime une inconnue en fonction de l'autre puis on remplace dans l'autre équation.
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Cette méthode est valable lorsque les coefficients de x ou de y sont égaux à 1 dans l'une des équations car il est alors facile d'exprimer x en fonction de y ou y en fonction de x. Dans le cas contraire, les calculs sont plus compliqués.
II) Résolution par addition (par combinaison linéaire):
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Ici, nous avons éliminé l'une des inconnues (y) en additionnant membre à membre car il y avait deux termes opposés 2y et -2y. Si ce n'est pas le cas, on multipliera d'abord l'une ou les deux des équations pour faire apparaître des termes opposés.
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| Dans le système suivant, décidons d'éliminer les "x". On va multiplier la première équation par 3 et la deuxième par 4 : On fera donc apparaître les termes 12 x et -12 x. Remarque : 12 est un multiple commun à 4 et à 3. |  |
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On obtient donc le système :
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En ajoutant membre à membre : |
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Comme précédemment, on pourrait remplacer la valeur de y trouvée dans l'une des équations mais ici les calculs sont plus compliqués. On peut alors reprendre le système initial et décider cette fois d'éliminer les "y".
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On va multiplier la première équation par 5 et la deuxième par - 3. On va donc faire apparaître les termes 15 y et - 15y.-------------------------------------------> |  |
On obtient donc :
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En ajoutant membre à membre : |
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La solution du système est donc : |
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III) Etude d'un cas
particulier, utile pour les résolutions graphiques :
| Soit le système : |  |
On a immédiatement : |  |
| En reportant par exemple dans la première équation on obtient : | |||
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| La solution du système est donc : | |||
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IV) Résolution graphique :
Nous ne verrons que des
exemples simples, lorsque les équations sont sous la forme y = ax + b ou
lorsqu'on peut facilement
exprimer y en fonction de x.
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On va représenter graphiquement les fonctions définies par y = 2x +1 et y = - 3x + 6 |
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0 | -2 | 1 |
| 1 | -3 | 3 |
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0 | 1 | 3 |
| 6 | 3 | - 3 |
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La solution du système
est donnée par les coordonnées du point d'intersection A ; on a A(1 ;
3), donc la solution |
Autre exemple, résoudre graphiquement le système :
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On exprime y en fonction de x et on représente graphiquement les deux fonctions trouvées. |
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La solution du système est donc (- 2 ;
-1).
Remarque : Dans certains cas la lecture de la solution sera approximative si les
valeurs "ne tombent pas juste". Une solution
par le calcul sera nécessaire.