Symétrie centrale

Définition.

Un point O étant donné, à tout point M on associe
le point M' tel que : O est le milieu du segment [MM']
O est le centre de symétrie.
Remarque : Une symétrie centrale correspond à une
rotation de centre O et d'angle 180°

Symétrique d'un segment.

On donne le point O et le segment [AB]. Pour construire le symétrique de [AB], on construit les symétriques des extrémités A et B 
nommés A'' et  B'.
On constate que AB = A'B'.
La symétrie centrale conserve les longueurs.

Symétrique d'une droite

On donne le point O la droite (AB). Pour construire la symétrique de la droite (MN), on construit les symétriques de deux points quelconques de cette droite, ici A et B. On obtient la droite (A'B').
On constate que les droites (AB) et (A'B') 
sont parallèles.

Pourquoi ?
Les diagonales du quadrilatère ABA'B' ont même
milieu O, c'est donc un parallélogramme.
Et donc : (AB) // (A'B')

Symétrique d'une demi-droite

On donne la demi-droite [AB) d'origine A et passant par B et le point O.
On construit le point A' symétrique de A par rapport à O  puis B' symétrique d'un point B quelconque de la demi-droite. On obtient la demi-droite [A'B')
Les demi-droites [AB) et [A'B') sont "opposées".

Symétrique d'un angle

On donne un angle BAC et un point O.
On construit le point A' symétrique du sommet A
par rapport à O, c'est A'.
Puis on construit B' symétrique d'un point B
quelconque du côté [AB) et C' symétrique
d'un point C quelconque du côté [AC).
La symétrie centrale conserve les angles.

Symétrique d'un cercle

On donne un cercle (C) et un point O.
On construit le symétrique d'un rayon
[AB] du cercle (C), soit [A'B']. On obtient
le cercle (C').
Comme la symétrie centrale conserve les
longueurs, les rayons des deux
cercles ont même mesure.

Symétrique d'un polygone

(ici un triangle)

On construit les points A', B' et C'
symétriques respectifs des points A, B et C
par rapport à O.
Comme la symétrie centrale conserve les
angles et les distances, alors :

Le symétrique d'un triangle isocèle est isocèle.
Le symétrique d'un triangle équilatéral est
équilatéral.
Le symétrique d'un triangle rectangle est
rectangle.